PaylaşTR

Geri git   PaylaşTR > EĞİTİM VE ÖĞRETİM DÜNYASI > Lise Üniversite > Matematik

2. dereceden denklemler

Matematik
2. dereceden denklemler, 2. dereceden denklemler slm arkadaslar bende sızın gıbı mat magduruyum 2 dereceden elınde kaynak olanlar (video vsvs)buraya koyarlarsa sevınırım ve 2. dereceden denklemler 2 dereceden denklemler örnekler, 2. dereceden denklemler formülleri, 2. dereceden denklemler çözümlü sorular, 2.dereceden denklemler formülleri, 2.dereceden denklemler çözümlü sorular, 2.dereceden denklemler örnekler, ikinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler, ikinci dereceden denklemler çözümlü örnekler, ikinci dereceden denklemler örnekler, ikinci dereceden eşitsizlikler çözümlü sorular, kokler farki formulu, kökler farkı, hakkında bilgiler ve daha fazlasını içeriyor.. Devamını Oku...

 
Paylaş
22.11.06 18:26 Yazan: _ZEUS_
2. dereceden denklemler

Sponsorlu Bağlantılar

2. dereceden denklemler


slm arkadaslar bende sızın gıbı mat magduruyum 2 dereceden elınde kaynak olanlar (video vsvs)buraya koyarlarsa sevınırım

Sponsorlu Bağlantılar




Gitti Gidiyor..
22.11.06 18:31 Yazan: murat_1907

aL dostum burda onLine bir anLatım war ama vidolu değiL+3dereceden denklemler de war

Buradan

22.11.06 18:53 Yazan: stanger34

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLMEYENLİ DENKLEMLER
A¹ 0 ve a,b,c Î R olmak koşulu ile, f(x)= ax2 + bx +c ile tanımlı f: R ® R fonksiyonuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir F(x) = ax2 + bx +c = 0 açık önermesine de ikinci dereceden bir bilinmiyenli denklem denir
F(x) = ax2 + bx +c = 0 denkleminin çözümü için genelde dört yöntem uygulanır
a)Çarpanlara ayırma
b)Tam karelere tamamlama
c)Formül kullanma

D = b2 – 4ac

D > 0 ise

D = 0 ise ( çakışık kök)

D < 0 ise gerçek kök yoktur

d)Grafik çizim yöntemi

ÖRNEKLER

1"a Î R için aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden denklemdir?

a) ( a+3) x2 + 2x +5 =0
b) (a2 – 4) x2+x –1 = 0
c) ax2+5x+1 =0
d)
e) (a2+1)x2+5x – a = 0

ÇÖZÜM:

Seçenekler incelendiğinde,
a= -3 için olmaz
a= 2 Ù a = -2 için olmaz
A= 0 için olmaz
A= 1 için olmaz
aÎR dir
Doğru Seçenek E

2(a+ 2)x3+x2-x+a=0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, köklerin biri kaçtır?

ÇÖZÜM :
A= - 2 için denklem ikinci derece denklem olur
X2 – x –2 = 0
( x+1) ( x-2) =0
x1= -1 , x2= 2
Doğru Seçenek D
34x2 – 15x + 2 = 0 Denkleminin köklerini bulunuz

ÇÖZÜM :
A= 4, b= -15 , c= 2
D = 193, olur
4x2+ 7x –m =0 denkleminin gerçek köklerinin olmaması için m hangi koşulu sağlamalıdır?

ÇÖZÜM:
D < 0 olmalı
A= 1, b= 7, c= -m
olur
52x2-3x+k=1 denkleminin gerçek köklerinin olması için k hangi koşulu sağlamalıdır?

ÇÖZÜM:
D > 0 olmalı
A=2, b= -3, c= k-1
olmalı
67x2 –13x +k +8 =0 denkleminin denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, bu denklemin köklerini bulunuz

ÇÖZÜM:
olur


77x2 +9kx –2 =0 denkleminin bir kökü 2 ise k yı bulunuz

ÇÖZÜM :
Kök denklemi sağlayan değerdir
X=2 için 74 + 18k –2 = 0
811x2-26x+15 =0 denkleminin köklerini bulunuz?

ÇÖZÜM:
11x2- 26x +15 = 0

11x -15
x -1
(11x-15) ( x-1)=0

olur
9x2+ax +b =0 ve 2x2+ ( b+1)x +a =0 denklemlerinin çözüm kümelerinin eşit olması için a+b kaç olmalıdır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM:
İki denklemin çözüm kümelerinin eşit olması için aynı dereceli katsayıları orantılı olmalıdır

Doğru seçenek A
10I x2 +ax +1 =0
II 2x2+ (2a+1)x –1 =0
Denklemlerinin birer kökleri eşittir
Idenklemin diğer kökü kaçtır?
A) 1 B) C) D) 0 E) –1

ÇÖZÜM :
Eşit kök x1olsun
}Þx1=3
Idenklemde x1 =3 Þ yerine yazılırsa
düzenlenirse,
olur
Doğru seçenek C

11x2-2mx + m2 +2m-4 =0denkleminin eşit iki kökü olması için m kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÇÖZÜM:
D = 0 Olmalı
D = 4m2-4(m2 +2m –4) =0
m=2 0lur
Doğru seçenek B


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEME DÖNÜŞEBİLEN DENKLEMLER

22.11.06 18:54 Yazan: stanger34

ÖRNEKLER

1(x2-9 ) ( x3-16x) =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM :




2( x2-3x )2 – 16 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz




ÇÖZÜM :




3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:


Paydayı sıfır ifadeyi tanımsız yapar
Ç={ -3}


4

denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:




5 x4-x2-12 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz







ÇÖZÜM:
1yol:


2yol : x2 =t olsun

T2 – t –12 =0
T +3
Þ t=-3 t=4
T -4 ( olamaz)

X2 = 4 Þ Ç= { -2,2} olur

6 (x2 –2x)2 –2(x2-2x)-15 =0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz


ÇÖZÜM :

( x2 –2x) – 2 ( x2 –2x )-15 =0
(x2 –2x) +3
(x2 –2x) -5
(x2-2x+3) ( x2 –2x –5 ) =0
Ç= Æ
X2-2x –5 =0


7
Denkleminin çözüm kümesini bulunuz









ÇÖZÜM:





8x1/2 – x1/4 –6 =0 denkleminin çözüm
kümresini bulunuz

ÇÖZÜM :


9 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:



10 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:


x2= 2
Ç= {-1,2 } dir

11 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:
x>4 Þ x2-4x-5=0, x1= -1 ( olamaz) Xz =5
x -5
x +1
x< 4Þ x2-4x+5 =0
Ç= Æ

Ç= {5}

12 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:

22.11.06 18:54 Yazan: stanger34

13 y-x2 =0
y - x –2 =0
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz

ÇÖZÜM:

y= x2 ikinci denklemde yerine konursa,
x2- x – 2 =0
x +1
x -2


14 y=x+2 doğrusunun y = x2 –2x –16 eğrisinin kestiği noktaların ordinatları toplamını bulunuz

ÇÖZÜM:
X2 – 2x –16 =x+2 Þ x2 – 3x –18 =0
X1= -3 , x2=6

X1=-3 Þ y1=-1
X2 = 6 Þ y2 =8
+
olur


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

olmak üzere ax2+bx +c =0 denkleminin kökleri x1,x2 olsun
Kökleri toplamı :

Köklerin çarpımı:

Kökleri farkının mutlak değeri:

Köklerin çarpma işlemine göre tersleri toplamı :

Kökleri kareleri toplamı:







6) Köklerin küpleri toplamı

Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı:



ÖRNEKLER

1
denkleminin kökleri toplamı 11 ise, kökleri çarpımını bulunuz


ÇÖZÜM:

Kökler x1 ve x2olsun



2 denkleminin köklerinin tersleri toplamı ise m yi bulunuz

ÇÖZÜM:



3 denkleminin kökleri kareleri toplamı8 ise k yı bulunuz



ÇÖZÜM :



4 denkleminin kökleri x1,x2 dir ise m yi bulunuz

ÇÖZÜM:



5 denkleminin kökleri x1=x22olması için a yı bulunuz

ÇÖZÜM:



6 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir ifadesinin değerini bulunuz

ÇÖZÜM:





7
denklemleri veriliyor
2denklemin köklerinin 1 denklemin köklerinden birer fazla olması için b sayısını bulunuz

ÇÖZÜM:

denklemin kökleri x1,x2
denklemin kökleri x1, x2 olsun


8 ve b olmak üzere denkleminin kökleri 2x1,3x2dir
a+b yi bulunuz

ÇÖZÜM:


KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİ BULMAK

Kökleri x1 ve x2 olan ikincidereceden bir bilinmiyenli denklem

Bu denklem düzenlenirse
denklemi elde edilir
Katsayıları rasyonel olan denkleminin bir kökü ise ikinci kökü

ÖRNEKLER
1Kökleri x1= 2, x2=-4 olan ikinci dereceden denklemi yazınız
ÇÖZÜM:



2Bir kökü katsayıları rasyonel olan ikinci dereceden denklemi yazınız

ÇÖZÜM:

22.11.06 18:56 Yazan: stanger34

İkinci Dereceden Denklemler
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
TANIMLAR :
a, b, c Î R ve a ¹ 0 olmak üzere ax2 + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir
Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir
Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir
Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir
UYARI

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ
İlk olarak ax2 + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz

ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz
1 3x2 – 5x = 0 2 x2 – x – 6 = 0 3 2x2 + x – 1 = 0
ÇÖZÜMLER :
3x2 – 5x = 0 2 x2 - x - 6 = 0 3 2x2 + x - 1 = 0
x (3x – 5) = 0 (x - 3) ( x + 2) = 0 (x + 1) (2x - 1) = 0
x = 0 V 3x – 5 = 0 x - 3 = 0 V x + 2 = 0 x + 1 = 0 V 2x - 1 = 0
x = x = 3 x = -2 x = -1 x =
Ç = { 0, } Ç = {-2,3} Ç = {-1, }
ax2 + bx + c = 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)
ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

ax2 + bx + c = a = a
(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı)
=

=

= a = 0 ise

= =

= =

=

o halde x1 ve x2= elde edilir
Bu kökler gerçel sayı ise b2 - 4ac ³ 0 olması gerekir


TANIM :

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b2 - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir

Denklemin kökleri ise x1 formülleri ile bulunur

Bu kökler kısaca, biçiminde yazılır

İrdeleme: ax2 + bx + c = 0 denkleminde D = b2 - 4ac iken
D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır

Bunlar x1 = dır


UYARI
a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D > 0 dır

D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir

Bunlar dır

D = 0 olduğundan (ax2 + bx + c) ifadesi tamkare olur

D < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir
İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

ax2 + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir b’ = Bu durumda, D’ = (b’)2 - ac

x1

ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz

1 x2 + 3x - 1 = 0 2 2x2 - 3x + 10 = 0 3 x2 - 2

ÇÖZÜMLER :

x2 + 3x - 1 = 0 2 2x2 - 3x + 10 = 0
a = 1, b = 3, c = -1 a = 2, b = - 3, c= 10
D = (3)2 - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13 D = (-3)2 - 4210 = 9 - 80 = -71
D < 0 olduğundan Ç = Æ dir
x1,2 =

Ç =


x2 - 2 + 3 = 0
a = 1, b = -2 , c = 3

b’ =

D’ =

x1,2 =

Ç =


İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

P(x)Q(x) = 0 Û P(x) = 0 V Q(x) = 0


ÖRNEKLER :
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz
1 2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0 2 3(x - 4)2 - 48 = 0
ÖRNEKLER :
2x3 + 3x2 - 18x - 27 = 0 2 3(x - 4)2 - 48 = 0

x2 (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0 3[(x - 4)2 - 16] = 0 Þ (x - 4)2 - 42 = 0
(2x + 3) (x2 - 9) = 0 (x - 4) - 4 = 0 V (x - 4) + 4 = 0
(2x + 3) (x - 3) (x + 3) = 0 x - 8 = 0 x = 0
2x + 3 = 0 V x - 3 = 0 V x + 3 = 0 x = 8
x = - x = 3 x = -3 Ç = {0, 8}
Ç =

RASYONEL DENKLEMLER
= 0 Û P(x) = 0 L Q(x) ¹ 0
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

(1) (2x - 1) (x + 4) (2x - 1) (x + 4)

27 + 4x2 - 2x = 6x + 24 - 2x2 - 7x + 4
6x2 - x - 1 = 0 Þ (2x - 1) (3x + 1) = 0
x = x = Ç =

YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER
(DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

ÖRNEK: x6 + 26x3 - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x3 = t olsun x6 = (x3)2 = t2 olur

Buradan denklem
t2 + 26t - 27 = 0 biçimine dönüşür
Þ (t + 27) (t - 1) = 0
t + 27 = 0 V t - 1 = 0
t = -27 t = 1
x3 = -27 x3 = 1
x = -3 x = 1

Ç = {-3,1}

22.11.06 18:56 Yazan: stanger34

KÖKLÜ DENKLEMLER

n Î N+ ve P(x) Î R[x] olmak üzere

ifadesi "x Î R için tanımlıdır
ifadesi, P(x) ³ 0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır
Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır
Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur

ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
eşitliğinin sağlanması için,
x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³ 0 Þ x ³ -4 olmalıdır

x + 6 = x2 + 8x + 16 Þ x2 + 7x + 10 = 0
(x + 5) (x + 2) = 0 Þ x = -5 V x = -2
Þ Ç = {-2}

ÜSLÜ DENKLEMLER
ÖRNEK:
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
dir
(x+3) (x-2) = 0 Þ x + 3 = 0 V x - 2 = 0
Þ x = -3 x = 2
Ç = {-2, 3}
F) MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER
Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır Bunu şöyle açıklayabiliriz
n Î N+


ÖRNEK:
x2 - |x|- 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x2 - |x| - 2 = 0
x2 - (-x) - 2 = 0
x2 + x - 2 = 0
(x + 2) (x - 1) = 0
x = -2 x = 1
Ç1 = {-2}
x ³ 0 Þ |x| = x dir
x2 - x - 2 = 0
(x - 2) (x + 1) = 0
x = 2 V x = -1
Ç2 = {2}
Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç1 È Ç2 dir Buradan Ç = {-2, 2} bulunur
DENKLEM SİSTEMLERİ
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:
x + y = 20 Þ y = 20 - x, x y = 64 Þ x (20 - x) = 64
20x - x2 = 64 Þ x2 - 20x + 64 = 0
Þ (x - 16) (x - 4) = 0, x1 = 16 V x2 = 4
Þ y1 = 20 - 16 Þ y2 = 20 - 4
y1 = 4 y2 = 16
Ç = {(16, 4) , (4, 16)}
ÖRNEK:
sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

2x - 3y = 12 Þ




Ç =

PAREMETRELİ DENKLEMLER
İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir
Örneğin; mx2 - (m - 1)x - 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 - (a - b)x + a b = 0 denklemindeki parametreler a ve b dir
ÖRNEK:
(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (-1) ise m kaçtır?
ÇÖZÜM:
(m - 3)x2 - 2mx + 3(m - 1) = 0
x = -1 için (m - 3) (-1)2 - 2m(-1) + 3(m - 1) = 0
m - 3 + 2m + 3m - 3 = 0
6m = 6 Þ m = 1
ÖRNEK:
mx2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?
ÇÖZÜM:
x1 = x2 ise D = 0 olmalıdır
Þ (b’)2 - ac = 0 D [ - (m - 1)]2 - m(m - 5) = 0
m2 - 2m + 1 - m2 + 5m = 0 Þ m =

UYARI
İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur

ÖRNEK:
denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?
ÇÖZÜM:
YOL : Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır
3 / 2x2 - (n - 1)x - m + 6 = 0
2 / 3x2 - 2x + 2m - 1 = 0
Þ
-3(n- 1) = -4 ve -3m + 18 = 4m - 2
7m = 20
m =

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı D = b2 - 4ac ve kökleri ve idi
Buna göre ;
Köklerin toplamı :
Köklerin çarpımı :
Köklerin farkı :
Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :
Köklerin karelerinin toplamı :

6 Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :

22.11.06 18:56 Yazan: stanger34

7 Köklerin küplerinin toplamı :

Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı :

UYARI
Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz

ÖRNEK:
2x2 - 4x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir
x12 + x22 = 4 ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:
Denklemde a = 2, b = -4, c = m - 3 dür
x12 + x22 = 4 Þ =

16 - 4m + 12 = 16
m = 3
ÖRNEK:
2x2 + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Denklemin kökleri x1, x2 olsun
İstenen bağıntı (x1 - 3) (x2 - 3) dür
Buna göre;
(x1 - 3) (x2 - 3) = x1x2 - 3x1 - 3x2 + 9
= x1 x2 -3 (x1 + x2) + 9 =
= olur
KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK
Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x1) (x - x2) = 0 biçimindedir Bu denklem düzenlenirse, x2 - (x1 + x2) x + (x1 x2) = 0 denklemi elde edilir
ÖRNEK:
Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
olduğundan denklem,
x2 - (x1 + x2) x + (x1 x2) = 0 Þ x2 - (-1) x + (-6) = 0
Þ x2 + x - 6 = 0 dır

ÖRNEK:
Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x1 = 3 - dir Bu denklem nedir?
ÇÖZÜM:
UYARI
a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü x1 = p + ise x2 = p - dur
Buna göre x1 = 3 - ise x2 = 3 + dür

dir
Denklem, x2 - (x1 + x2)x + (x1 x2) = 0
x2 - 6x + 7 =0 olur










ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
1 x2 - x + |1-x| = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM:

x(x-1) - (x-1) = 0
(x - 1) (x - 1) =0
x = 1
Ç = {1}
2 denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:

olsun

Þ t = 3 V t = 2

6x - 3 = x + 3 x + 3 = 4x - 2


3 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir |x1 - x2| nedir?
ÇÖZÜM:

x1 = 21 x2 = 5
|x1 - x2| = |21 - 5| = 16
4 3x + 1 + 3x - 2 + 3x - 3 + 3x - 4 = 768 denklemini sağlayan x değeri nedir?
ÇÖZÜM:

5 sistemini sağlayan y değeri nedir?
ÇÖZÜM:

x + y + z = 19 Þ (x + z)2 = (19 - y)2
x2+ z2 + 2xz = 361 - 38y + y2
133 - y2 + 2y2 = 361 - 38y + y2
38y = 228 Þ y = 6
Köklerinden birisi - 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
ÇÖZÜM:
ise
x2 = -2 - dir

= 4 - 3 = 1
Denklem,
x2-(x1 + x2)x + (x1 x2) = 0
x2 - (-4)x + 1 = 0
x2 + 4x +1 = 0 olur

22.11.06 18:56 Yazan: stanger34

7 mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir x1 + x2 = s ve x1 x2 = p olmak üzere, bu denklemin kökleri arasında m’ye bağlı olmayan bağıntı nedir?
ÇÖZÜM:
mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0

bulunur

8 3x2 + mx - 6 = 0 denkleminde bağıntısı varsa m kaçtır?
ÇÖZÜM:
Bu denklemde,
4 + x1x2 = 8x1 Þ 4 + (-2) = 8x1 Þ x1 =
x1 x2 = -2 Þ x2 = -2 Þ x2 = -8
x1 + x2 =


6x2 - 11mx - 10m2 = 0 ise nedir?

ÇÖZÜM:

2x -5m
3x 2m
(2x - 5m) (3x + 2m) = 0 ise



2x2 + x + m + 2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında bağıntısı varsa, m tam sayısı nedir?
ÇÖZÜM:

1 - 4m - 8 = 5m2 + 20m + 20
5m2 + 24m + 27 = 0
(5m + 9) (m + 3) = 0
Ç =

22.11.06 18:58 Yazan: stanger34

TANIM: a, b, c reel sayı ve a# 0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 ifadesine , x e göre düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir Denklemi sağlayan (eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem çözme denir
ÖRNEK:4x2 –7x+6=0 ifadesi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir•Bu denklemde; a=4, b=-7 ve c=6 dır
ÖRNEK: 2y2 –5y+1 = 0
İfadesi y ye bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemdir
Bu denklemde; a=2, b=-5 ve c= 1 dir


ÖRNEK: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
Denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM: ax3 + 3x2 + 4x3 –ax –2 = 0
(a+4)x3 + 3x2 –ax –2 = 0
Denkleminin ikinci dereceden bir denklem olması için denklemde x3 lü terim olmamalıdır
O halde, a + 4= 0 => a= -4 olur

KÖK BULMA
1ax2 + bx + c =0
ifadesi çarpanlarına ayrılabiliyorsa her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur
ÖRNEK: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
Denkleminin kökleri x1 ,x2 olduğuna göre x1 + x2 toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: x-1 x-1
x-3 + x-5 =0
(x-1) (x-5) + (x-1) (x-3) = 0
(x-1) (x-5 + x-3) = 0
(x-1) (2x – 8) = 0
x-1= 0 => x1 =1 veya 2x-8= 0
=> x2 = 4 tür
x1 + x2 = 1 + 4 = 5
ÖRNEK: 4x + 2 42-x –18 = 0 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: 4x + 2 42-x –18 = 0
4x + 2 42 4-x –18 = 0
1
4x + 32 4x –18 = 0
(4x)2 –18 (4x ) + 32 = 0

-16 -2
(4x –16) (4x –2) = 0
4x –16 = 0 => 4x = 16 => x1 = 2
1
4x –2 = 0 => 4x = 2 => x2 = 2
1 5
O halde, x1 + x2 = 2+ 2 = 2 olur

a≠ 0
ax2 + bx + c = 0 denkleminde;

c
i) a + b + c = 0 ise köklerden biri 1, diğeri a dır

- c
ii) b = a + c ise köklerden biri -1 , diğeri a dır

ÖRNEK: 9x2 + 17x + 8 = 0 denkleminde;
a = 9, b = 17 , c = 8
b = a + c olduğundan bu denklemin kökleri
x1 = -1 ve x2 = - 8 dur
9
nÖRNEK: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0
ikinci derece denkleminin köklerinden biri 6 ise, bu denklemin kökleri toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM: (m + 2)x2 + (m – n + 2)x –n = 0 denkleminde,
a = m + 2, b = m –n + 2, c = -n ve
b = a + c olduğundan denklemin köklerinden biri -1 dir
Diğer kök 6 olduğundan kökler toplamı
-1 + 6 = 5 olur
nax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
ndenkleminin köklerini ∆ (diskriminant) yöntemi ile bulabiliriz
n∆ = b2 –4ac
ni) ∆ < 0 ise reel kök yoktur
nii) ∆ = 0 ise kökler eşittir (x1 = x2)
niii) ∆ > 0 ise iki farklı reel kök vardır
n ∆ > 0 olmak üzere denklemin kökleri
n -b + -b
n x1 = 2a ve x2 = 2a şeklinde bulunur

nÖRNEK: x2 – 4x + m + 1 = 0 denkleminin eşit iki kökünün olması için m kaç olmalıdır?

ÇÖZÜM: Denklemin eşit iki kökün olması için ∆ = 0 olmalıdır
∆ = (-4)2 –4 1 (m + 1)
0 = 16 –4m = 12 –4m
m = 3 bulunur

nÖRNEK: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0 a ≠ -1 olmak üzere
ndenklemin kökleri eşit olduğuna göre, a’ nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? (1998 / ÖSYS)

ÇÖZÜM: (a + 1)x2 –2(a + 7)x + 27 = 0
denklemin kökleri eşit ise ∆ = 0 olmalıdır
∆ = 4 (a + 7)2 –4 27 (a + 1)
0 = a2 + 14a + 49 – 27a –27
a2 - 13a + 22 = 0
Bu denklemi sağlayan a değerlerinin toplamı
(-13)
a1 + a2 = - 1 = 13 olur
a ≠ 0, ax2 + bx + c = 0 denkleminin;
i) Simetrik iki kökünün olması için b = 0 olmalıdır
ii) Simetrik iki reel kökünün olması için,
b = 0 ve a c > 0 olmalıdır

ÖRNEK: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
denkleminin simetrik iki reel kökü olduğuna göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM: ax2 – (a2 –4 )x + 4 = 0
Denkleminin simetrik iki reel kökünün olması için,
a2 –4 = 0 ve 4 a > 0 olmalıdır
a2 –4 = 0 => a = -2 ve a = 2 dir
4a < 0 => a < 0 olmalıdır O halde a = -2 olur

KÖKLER İLE KATSAYILAR ARASINDAKİ BAĞINTI
ax2 + bx + c = 0 ikinci derece denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun
-b
1)x1 + x2 = a
c2)x1 x2 = a

3)|x1 - x2| = |a|

1 1 x1 + x2 -b
4)x1 + x2 = x1 x2 = c
5)X12 + x22 = (x1 + x2 )2 –2x1x2
b2 – 2ac
a2

6)1 1 x12 + x22
x12 +x22 = x12 X22
b2 –2ac
= c2
7)x13 + x23 = (x1 + x2)3 –3x x2(x + x2)
3abc-b3
= a3

ÖRNEK: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminin kökleri p ve q olduğuna göre, diskriminantı kaçtır?

ÇÖZÜM: 2x2 –5x + p2 + q2 = 0 denkleminde
a = 2, b = -5, c = p2 + q2, x1=p, x2 =q
c p2 + q2
x1 x2 = a => p q= 2
2pq = p2 + q2 p2 –2pq + q2 = 0
(p – q)2 = 0 ise
p – q = 0
p = q dur
O halde, kökler eşit olduğundan ∆=0 dır

ÖRNEK: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olduğuna göre
a’ nın hangi değeri için x1 + x2 + x1 x2 = 5 olur?

ÇÖZÜM: x2 –2x + a = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
x1 + x2 = 2 ve x1 x2 = a dır O halde,
x1 + x2 + x1 x2 = 5 => 2 + a = 5 a = 3 bulunur

ÖRNEK: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denklemin kökleri sıfırdan farklı olan x1 ve x2 sayılarıdır

ÇÖZÜM: x2 + (x1 + 4)x –3x2 = 0 denkleminde, a = 1, b= x1+4, c=-3x2
c x1x2 = a => x1x2 = -3x2 x1 = -3 tür
-b
x1 + x2 = a => x1 + x2 = -x1 –4
x2 = -2x1 –4
x2 = -2(-3) –4
x2 = 2 olur
O halde, denklemin büyük kökü x2 = 2 olur
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI
a ≠ 0 olmak üzere, kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
a (x – x1) (x – x2) = 0 dir Bu denklem düzenlenirse,
x2 –(x1 + x2) x + x1 x2 = 0 denklemi elde edilir

ÖRNEK: Kökleri –2 ve 3 olan ikinci dereceden denklem nedir?

ÇÖZÜM: Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
x2 –(x1 + x2) x + x1 x2 = 0 dır
x1 = -2 ve x2 = 3 ise denklem:
x2 – (-2 + 3)x + (-2) 3 = 0
x2 –x -6 = 0 olur

EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMLERİ f(x)
f(x) > 0, f(x) g(x) < 0, g(x) ≤ 0 vb eşitsizliklerinin her birini çözebilmek için aşağıdaki basamaklar sırasıyla uygulanmalıdır:
1)Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökleri bulunur
2)Bulunan köklerin sayı adedi incelenir
aBir kökün sayı adedi tek ise, bu köke tek katlı kök denir ve sayı doğrusunda tek çizgi ile gösterilir
bBir kökün sayı adedi çift ise bu köke çift katlı kök denir ve sayı doğrusunda çift çizgi ile gösterilir
3)Bulunan kökler, sayı doğrusunda küçükten büyüğe sıralanır ve tek-çift katlı kökleri belirtilir
4)Her bir çarpanın en büyük dereceli teriminin işareti parantezinin kuvveti ile birlikte alınarak çarpılır ve bir işaret bulunur
5)Bulunan işaret ile sayı doğrusunun en sağından (+∞ tarafından) başlanır Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir ve çift katlı köklerden geçerken işaret değiştirilmez
Böylece tablodan istenen bölgeler bulunur

ÖRNEK: (x-1) (3-x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:
1)x-1 = 0 => x = 1 3-x = 0 => x = 3
2)x = 1 ve x = 3 birer tane olduğundan tek katlı köklerdir
3) x -∞ 1 3 +∞
- + -

0 0

(+)(-) = (-)
ÇK= {x 1≤ x ≤ 3, x € R}

ÖRNEK: (x+2) (x-2)
x + 1 ≤ 0
ÇÖZÜM:
1)x + 2 = 0 => x = -2
x –2 = 0 => x = 2
x + 1 = 0 => x = -1
2)x = -2, x = 2 ve x = -1 kökleri birer tane olduğundan, tek katlı köklerdir



3) x -∞ -2 -1 2 +∞
- + - +

0 ∞ 0

4)(+) (+) (+) = (+)
Ç = {x € |R : x ≤ -2 veya –1 < x ≤ 2} dir


Eşitsizliklerde n € Z olmak üzere, (x – a)2n ya da |x - a| ifadeleri her zaman pozitif olacağından işleme alınmayabilir Bu durumda, sadece içlerini sıfır yapan noktalar incelenmelidir


(3 –x)2
x2 + 3x –4 ≤ 0

eşitsizliğini çözmek yerine
x2 + 3x –4 < 0
eşitsizliğini çözmek yeterlidir
Ayrıca, (3 –x)2 = 0 olabilmesi için x = 3 olmalıdır
x -∞ -4 1 +∞
x2 + 3x –4 + - +
İstenen eşitsizliğin çözüm kümesi ise,
Ç = (-4, 1) U {3} olur

İçinde birden fazla eşitsizlik bulunduran ifadelere eşitsizlik sistemi denir
Eşitsizliklerin hepsini aynı anda sağlayan değerlerin bulunduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir
eşitsizlik sisteminin çözümü için, her bir eşitsizlik ayrı ayrı çözülür ve ortak çözüm kümesi bulunur

nÖRNEK: (x –2) (4 –x) ≤ 0
(1 –x) (5 +x) ≥ 0
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜM: (x-2) (4-x) = 0 => x = 2, x = 4
(1-x) (5+x) = 0 => x = 1, x = -5

Şimdide her birinin ayrı ayrı işaretini inceleyelim
x -∞ -5 1 2 4 +∞
(x-2)(4-x) - - - + -

(1-x)(5+x) - + - - -

İşaret tablosunda görüldüğü gibi, birinci eşitsizliğin (-), ikinci eşitsizliğin (+) olduğu bölge [-5, 1] aralığıdır O halde, çözüm kümesi Ç = [-5, 1] dir

i)ax2 + bx + c > 0
eşitsizliğinin daima sağlanması için
a > 0 ve ∆ = b2 – 4ac <0 olmalıdır
-∞ +∞

+

 


WEZ Format +2. Şuan Saat: 13:58.


PaylaşTR Bir Eğlence Ve Bilgi Paylaşım Platformudur. Copyright © 2004-2014

Sitemizdeki içerik,iznimiz olmadan veya kaynak gösterilmeden başka sitelerde kullanılamaz. 5651 Sayılı Kanun'un 8.Maddesine ve T.C.K'nın 125. Maddesine göre Sitemizdeki Üyelerimiz yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.Sitemizde bulunan bir içeriğin, kanunlara aykırı olduğunu veya yanıltıcı olduğunu düşünüyorsanız lütfen buradan bize bildirin.

PaylasTR.Org | Since 2004

Powered by vBulletin Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
SEO by vBSEO 3.3.0

Forumumuza kayıtlı Kullanıcı olmadığınız algılandı. Forumun tüm özelliklerini kullanabilmek için buraya tıklayarak ücretsiz üye olabilirsiniz...
Üye olmadan yeni konu açıp soru sorabilirsiniz